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用数学方法寻找飞机残骸:贝叶斯方法找到法航447

时间:2019-03-15 08:55 来源:网络 作者: 菜叶

  我们知道,当飞机不幸失事,寻找飞机残骸和黑匣子就成了当务之急。如果飞机坠入大海,黑匣子藏匿在大海里,那将给搜索工作带来极大的麻烦。

  据统计,自1948年至今,全球共有80架航班彻底失踪,就这些飞机最后一次与地面联系的位置来看,它们中近六成消失在海上。毫无异议,这些飞机应该是失事了,只是在茫茫大海中找到残骸的难度太大,导致它们的葬身之地成为永久的谜。

  不过,在面对这种困境时,搜救人员可采用统计学上一个叫“贝叶斯”的方法来缩减搜索范围。

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  小球扔出贝叶斯方法

  18世纪40年代,苏格兰著名哲学家休谟提出一个观点,认为人们使用归纳法寻求自然现象之间的因果联系只是人们养成的习惯,并不意味着这里面必定有着因果关系。举个例子,当有人连续100天看到,公鸡一叫,太阳就升起来,就以为太阳是公鸡唤起的;并以归纳法推而论之,公鸡第101天鸣叫,太阳也必定会第101次升起。殊不知,公鸡叫和太阳升起之间并没有因果关系。比如在阴雨天,任凭公鸡怎么叫,太阳都不会露脸。休谟认为,我们迄今的所有认识都是建立在归纳法基础上的,而“以归纳法来认识世界并不科学”。

  一石激起千层浪,他的观点当时在社会上引发很大的争议,也引起了一位业余数学家托马斯・贝叶斯的研究兴趣。

  贝叶斯决定使用数学来验证“以归纳法来认识世界是否科学”。他设想了一个思想实验:假想有一张台球桌,以及一颗白球和许多红球。这些球投在桌面,不会弹跳,也无法掉下桌去,只能在桌面有限地滚动。球和球之间也不会相撞。一颗球停在桌面任何位置的概率是均等的。

  设想一名助手帮着投球,在实验中,贝叶斯本人则蒙上眼睛,不能看桌面上的情形。助手先将白球投掷到桌面,接下去投出一颗颗红球,每投一次,就报出红球相对白球的位置,贝叶斯根据听到的情况进行猜测。比如,当助手报出“红球在白球左侧”,贝叶斯会猜测“白球在桌面右侧”。随后助手继续扔红球并报告两球相对位置,贝叶斯继续猜测白球的位置――如果第二个红球落在白球右侧,贝叶斯则会猜测“白球在桌面右侧,但不会处于右侧边缘”。做这个猜测的道理是显然的:如果白球处于桌的右侧边缘,那么白球和右侧桌沿之间的空间已经很小,再塞进一个球的概率是很小的。

  这样,相比第一次,贝叶斯对白球位置的猜测更准确了。而台球桌面积有限,随着投出的红球数量增加,白球位置的范围越来越窄,尽管贝叶斯无法得出白球的具体位置,但由于获得大量新信息,他对于白球位置的判断越来越精准,最后锁定白球最有可能在桌面上的范围。比如,在一个极端的情况下,如果所有红球都落在了白球的左侧,那么他就可以推断,白球位于桌面右侧边缘。

  贝叶斯想通过这个思想实验证明,随着获得越来越多的新信息,我们对事实最初的猜测会逐渐得到修正和完善,越来越接近真相――所以休谟的观点不正确,通过归纳是可以认识世界真相的。贝叶斯的结论可以用一个公式来表达:

  初始猜想+最新的客观数据=一个新的改进了的猜想。

  然后,当又有新数据出现时,我们把上轮“改进了的猜想”当作“初始猜想”,迭代到公式中,形成一个更新的猜想,如此周而复始。这个方法现在被称为“贝叶斯方法”。

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  正概率和逆概率问题

  贝叶斯对数学的最大贡献就是解决了如何计算逆概率问题。而这个逆概率,正是关切搜寻失事飞机的一个重要的数学问题。那么,什么是逆概率?

  正概率问题是知道了原因,推测发生某个结果的概率。而逆概率问题则反过来,知道了结果,要倒推原因。如果原因有很多,我们要给出各种原因的概率。比如一个正概率问题是:“假设袋子里面有4个白球,6个黑球,你伸手进去摸一把,摸出黑球的概率是多大?”如果反过来问:“如果事先不知道袋子里黑白球的比例,而是闭着眼睛摸出一个(或好几个)球,观察这些取出来的球的颜色之后,我们对袋子里面黑白球的比例能做出什么样的推测?比如说,猜对黑白球比例的概率有多大?”这就是一个逆概率问题。

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